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#1 03-03-2009 09:34:25

Kechbour
membre extérieur
Date d'inscription: 03-03-2009
Messages: 3

de l'aide pour un exercice

Bonjour,

je suis novice en économétrie je me débrouille tant bien que mal mais là j'ai un exercice et je n'arrive pas à le résoudre. Il s'agit d'un modèle linéaire simple de la forme Yt=aXt +b + e (t=1....T)
Le modèle vérifie les hyothèses du modèle classiques. Soit a* et b* les estimateurs de a et b et satisfasant les critères suivants:
* la somme des écarts calculés est nulle
*L"écart calculé de la première observation est nul

1- Déterminer les estimateurs a* et b*
2- a* est il un estimateur sans biais de a?
3- Calculer la vraie variance de a*
4- En posant Xt=t, calculer le rapport des variances: a* et b* où a* et b* est l'estimateur des MCO. Lequel des deux estimateurs est le plus efficace?

Merci d'avance

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#2 05-03-2009 13:39:22

esa_gc
Moderator
Date d'inscription: 21-02-2007
Messages: 421

Re: de l'aide pour un exercice

bonjour,

Là, vous vous débroullez mal.
Pour 1 : vous utilisez le résultat de base en MCO : betahat=inv(X'X)X'Y. La matrice X a deux colonnes : la première remplie des observations de la variable Xt, la seconde de 1. Vous faites les calculs et je parie que vous trouverez aisément que : ahat = cov(Yt,Xt)/var(Xt), et que bhat = ybar-ahat*xbar, ou Xbar et Ybar sont les moyennes d'échantillon.
pour 2 : regardez votre cours : sous les hypothèses du modèle classique les estimateurs MCO sont sans biais. Je vous laisse trouver qu'une des hypothèses centrales pour ce résultat est l'orthogonalité de l'explicative X et du résidu e.
pour 3 : qu'est ce que cette histoire de vraie variance ??? Je suppose que "vraie" est une faute de frappe. Donc si on note s2 l'estimateur de la variance des résidus, vous savez que l'estimateur de la matrice de var-cov des coefficients est s2*inv(X'X). Vous construisez X'X, vous l'inversez et vous prenez le terme qui est en haut à gauche (après avoir pris soin de multiplier par s2).
pour 4 : votre variable Xt, est donc la suite 1,2,3....T. Vous reprenez les expressions précédentes en tenant compte de cette information et vous faites simplement les rapport des deux variances. Vous  comparez finalement le résultat à 1 : s'il est plus grand, bhat est plus efficace, s'il est plus petit, c'est ahat qui est le plus efficace.
amusez-vous bien....
(je suis quand même déçu que pas un des ESA n'est répondu avant moi qui suit pourtant en vacances, contrairement à eux).

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#3 16-03-2009 08:42:08

Kechbour
membre extérieur
Date d'inscription: 03-03-2009
Messages: 3

Re: de l'aide pour un exercice

Bonjour, Tout d'abord merci pour m'avoir répondu. Après reflexion je me suis rendu compte que les deux critères sont le point de départ pour la détermination des estimateurs. Je sais très bien que les estimateurs mco sont sans biais et convergents meme je sais leurs expressions ainsi que leurs variances respectives...mais là il s'agit pas de la meme chose dans cet exercice. Tout cee que t'as dit je le sais mais dans cet exercice c'est un peu différent. On a deux critères suplémtaires: somme des écarts calculés est nul c'est à dire SOMME (Yi-Yestimé)=0 et l'écart de la première observation est nul: (Y1-Y1 estimé) =0. Ces deux équations nous permettent d'avoir les estimateurs. J'arrive par la suite à trouver l'expression de la vraie variance mais je ne suis pas sur si c'est la bonne ou pas.
QUELQU'UN POURRA M'AIDER?
MERCI

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#4 17-03-2009 14:43:37

esa_gc
Moderator
Date d'inscription: 21-02-2007
Messages: 421

Re: de l'aide pour un exercice

Comme quoi il faut toujours bien lire les questions des étudiants...elles ne sont pas toujours inintéressantes. Mais comme c'est une minorité, on finit par prendre de mauvaises habitudes.
Donc, vous avez 2 équations à deux inconnues (en notant Ybar et Xbar les moyennes d'échantillon de vos deux variables et Y(t) et X(t) leurs valeurs à l'instant t) :

Ybar = a Xbar + b , et
Y(T) = a X(T) + b

vous en déduisez donc évidemment que
a* = (Ybar-Y(T))/(Xbar-X(T))
et
b* = Ybar-a* Xbar ou encore b = Y(T)-a* X(T)

Du coup, votre estimateur a* est exactement égal à la valeur a cherchée, ainsi var(a*)=E[(a*-a)^2]=0, il est non biaisé, et a une variance nulle ! C'est la même chose pour b*
Du coup, sans doute qu'il sera plus efficace que l'estimateur MCO qui lui sera sans biais mais possèdera une variance non nulle.

Si quelqu'un pense que je fais fausse route (sur ma réponse...pas sur mon opinion des questions étudiantes), qu'il le fasse savoir

Dernière modification par esa_gc (17-03-2009 21:20:24)

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