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#1 22-11-2014 10:08:04

Rosie
membre extérieur
Date d'inscription: 22-11-2014
Messages: 4

Regression multiple

Bonjour ,

J'ai commencé un exercice de de régression , cependant je bloque pour la suite .
Pour la 2 b) , je ne sais pas comment montrer que que In-Hx est une matrice de projection.


pour la 2)
b) J'ai fait E[u^T*beta(til)]=u^TE[beta tile]=U^t*beta

La a ) je ne sais pas ....
La 4 je bloque aussi , mais la 5 j'ai réussi .

Merci de votre aide.

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#2 22-11-2014 10:10:08

Rosie
membre extérieur
Date d'inscription: 22-11-2014
Messages: 4

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#3 22-11-2014 21:23:44

jonathan.zenouda
Member
Date d'inscription: 04-09-2013
Messages: 19

Re: Regression multiple

La 2 est très rapide:
a) il te suffit de prouver que la matrice est idempotente, c'est à dire que le produit de deux matrices de projection donne la matrice elle même (P²=P). Donc tu dois simplement écrire le produit X(X'X)^(-1)X'* X(X'X)^(-1)X'
Tu vas voir que tu arrives facilement à la matrice originelle. Le produit de X'X par son inverse donnant l'identité.
b) Là tu peux le montrer graphiquement. On ôte à une matrice quelconque sa projection sur les X (I-(Projection sur les X montré précédemment)). Il reste donc la projection orthogonale aux X.(difficile de faire un dessin par le forum mais ça se voit facilement en utilisant les propriétés de Chasles élémentaires). Sinon tu peux prouver de la même manière que dans la A.

Pour la 4 tu as montré deux égalités avec la même espérance à gauche des égalités, donc tu en déduis l'égalité entre u'AX*beta et u'*beta, donc en divisant par beta à droite et à gauche, tu obtiens une égalité triviale.

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#4 23-11-2014 14:08:15

Rosie
membre extérieur
Date d'inscription: 22-11-2014
Messages: 4

Re: Regression multiple

Merci !
La 4 était toute bête en fait.
Par contre la 2 a ) oui j'ai montré qu'elle était idempotente et symétrique donc j'en ai déduit qu'elle était une matrice de projection , par contre je bloque toujours pour la b). Normalement on devrait déduire de la question précédente , donc on doit pas refaire la meme démonstration si ?
Après si je veux montrer qu'elle est idempotente , j'obtient : (I-Hx)²= (Hx)² =Hx
Pour la symétrie , j'obtient -Hx , je pense que ce n'est pas ça...

Pour la 3)a
Je ne sais pas comment faire intervenir le X dans l'égalité .

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#5 23-11-2014 18:58:00

jonathan.zenouda
Member
Date d'inscription: 04-09-2013
Messages: 19

Re: Regression multiple

Rosie a écrit:

Merci !
La 4 était toute bête en fait.
Par contre la 2 a ) oui j'ai montré qu'elle était idempotente et symétrique donc j'en ai déduit qu'elle était une matrice de projection , par contre je bloque toujours pour la b). Normalement on devrait déduire de la question précédente , donc on doit pas refaire la meme démonstration si ?
Après si je veux montrer qu'elle est idempotente , j'obtient : (I-Hx)²= (Hx)² =Hx
Pour la symétrie , j'obtient -Hx , je pense que ce n'est pas ça...

Pour la 3)a
Je ne sais pas comment faire intervenir le X dans l'égalité .

Tu dois arriver non pas à Hx mais à (I-Hx)²=I-Hx (une matrice est idempotente si le produit par elle même donne cette matrice, là il s'agit de I-Hx, non pas de Hx).
Développons rapidement ce produit en utilisant une identité remarquable: (I-Hx)²=I²-2Hx+Hx²
Or tu sais que I²=I et Hx²=Hx, donc tu obtiens (I-Hx)²=I-2Hx+Hx=I-Hx
Tu arrives au résultat! Comme je te le disais, graphiquement c'est un résultat évident et tu peux rapidement voir que cette matrice I-H n'est rien d'autre que la projection sur l'espace orthogonal des X. (Fais le en 2 dimensions avec des vecteurs, ça marche pour toutes dimensions).
Si tu as montré que H était symétrique, alors I-H l'est forcément aussi, car la seule modification repose sur la diagonale. Ce qui n'est donc pas problématique car la symétrie se fait par rapport à la diagonale et tout le reste de la matrice est identique à H, donc symétrique.

Pour la 3a), tu as un vecteur certain u. Ce vecteur n'est pas aléatoire, c'est à dire que son espérance est directement ce vecteur. TU peux donc le sortir de l'espérance. E(u'Beta tild)=u'E(Beta Tild). Ensuite en utilisant l'égalité au dessus, tu en déduis u'E(AY) et tu sais que la régression multiple se traduit par Y=XBeta+epsilon (résidu ayant une espérance nulle). Du coup E(AY)=A*E(Y)=A*(E(XBeta)+E(Epsilon))
Or E(XBeta)=XBeta (X étant une variable certaine, l'espérance est égale à sa vraie valeur)
et E(epsilon)=0 (propriété du résidu)
On obtient donc
E(u'Beta tild)=u'A(XBeta+0)=u'AXBeta

Voilà, j'ai fait de mon mieux par le forum. J'espère que ça t'ira !

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#6 23-11-2014 19:04:49

jonathan.zenouda
Member
Date d'inscription: 04-09-2013
Messages: 19

Re: Regression multiple

Je précise que le langage que j'utilise Hx² n'est pas exact en général dans le cas matriciel. Il est valable uniquement en cas de symétrie de la matrice (ce qui est rare), sinon ça serait un produit entre la matrice et sa transposée.

Fais gaffe de vérifier cette condition avant de mettre ce type de chose. wink

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#7 24-11-2014 13:42:56

Rosie
membre extérieur
Date d'inscription: 22-11-2014
Messages: 4

Re: Regression multiple

D'accord merci beaucoup j'ai tout compris !

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