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#1 02-01-2015 16:46:34
- Claire45
- membre extérieur
- Date d'inscription: 02-01-2015
- Messages: 6
Prévision ARIMA
Bonjour,
Je rencontre un problème sur un modèle ARIMA que je n'arrive pas résoudre.
Pourriez-vous svp m'aider.
Ci-dessous l'exercice:
Soit le modèle Delta Yt = 2 + 0,6 Delta Yt-1 + epsilon t ,
epsilon t est une innovation de variance sigma ^2
Déduisez le processus Wt, qui correspond à l'accroissement de Yt: Wt = Delta Yt. Dans la famille des ARIMA, quel est le processus suivi par Wt ? Quel est le processus suivi par Yt ?
Merci d'avance,
Bonne fête,
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#2 02-01-2015 18:52:01
- Jérémy LEYMARIE
- Member
- Date d'inscription: 22-07-2013
- Messages: 18
Re: Prévision ARIMA
Bonjour,
j'ai fait ça rapidement donc il faudra vérifier :
Wt :
Wt = deltaYt = 2 + 0.6deltaYt-1 + epst
<=> Yt - Yt-1 = 2 + 0.6(Yt - Yt-1) + epst
<=> 0.4(Yt - Yt-1) = 2 + epst
<=> Yt - Yt-1 = 5 + 2.5epst
<=> Wt = 5 + 2.5epst
Wt est une transformation de espt. Par exemple si epst est un bruit blanc alors Wt l'est aussi.
Yt :
deltaYt = 2 + 0.6deltaYt-1 + epst
<=> Yt - Yt-1 = 2 + 0.6(Yt - Yt-1) + epst
<=> Yt - 0.6Yt = 2 + Yt-1 - 0.6Yt-1 + epst
<=> Yt(1 - 0.6) = 2 + 0.4Yt-1 + epst
<=> Yt = (2 + 0.4Yt-1 + epst) / 0.4
<=> Yt = 5 + Yt-1 + 2.5epst
Yt est une marche alétoire
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#3 02-01-2015 19:26:01
- Claire45
- membre extérieur
- Date d'inscription: 02-01-2015
- Messages: 6
Re: Prévision ARIMA
Bonjour Jérémy,
merci beaucoup pour ce retour, je m'arrache les cheveux depuis qqs jours!!!
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#4 02-01-2015 19:49:11
- Claire45
- membre extérieur
- Date d'inscription: 02-01-2015
- Messages: 6
Re: Prévision ARIMA
j'ai une demande de précision sur le début de la transformation
Yt :
deltaYt = 2 + 0.6deltaYt-1 + epst
<=> Yt - Yt-1 = 2 + 0.6(Yt - Yt-1) + epst
Ici deltaYt = Yt - Yt-1
Et deltaYt-1 = Yt - Yt-1 ne faut-il pas plutôt ici avoir deltaYt-1 = Yt-1 - Yt-2
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#5 02-01-2015 21:56:32
- Rednic
- New member
- Date d'inscription: 10-07-2013
- Messages: 4
Re: Prévision ARIMA
@Claire:Effectivement,deltaYt-1 = Yt-1 - Yt-2
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#6 02-01-2015 22:10:04
- Rednic
- New member
- Date d'inscription: 10-07-2013
- Messages: 4
Re: Prévision ARIMA
Wt = deltaYt = 2 + 0.6deltaYt-1 + epst
=> Wt=2+0.6Wt-1+epst=> Wt est un AR(1)
Wt=2+0.6deltaYt-1+epst=>Yt-Yt-1=0.6(Yt-1 -Yt-2)+epst+2=>Yt=0.6Yt-1 -0.6Yt-2 +yt-1+epst +2 =>Yt=1.6yt-1 -0.6yt-2 +epst+2
Donc Yt est un ar(2)
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#7 02-01-2015 22:16:30
- Jérémy LEYMARIE
- Member
- Date d'inscription: 22-07-2013
- Messages: 18
Re: Prévision ARIMA
Mince je me suis trompé, vous avez effectivement raison.
Avec la même méthodologie, si je me trompe pas on doit aboutir aux conclusions suivantes :
Yt = 2 + 1.6Yt-1 - 0.6Yt-2 + epst
Yt est donc un AR(2)
Au passage présence d'une racine unitaire car 1.6 + (-0.6) - 1 = 0 (On retrouve aisément ce résultat à partir d'une écriture Dickey Fuller)
Wt = deltaYt = 2 + 0.6Yt-1 - 0.6Yt-2 + epst
Wt est un AR(2)
Mais ici pas de racine unitaire
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#8 02-01-2015 22:19:46
- Jérémy LEYMARIE
- Member
- Date d'inscription: 22-07-2013
- Messages: 18
Re: Prévision ARIMA
Et Rednic a raison pour ce qui est de Wt. Il est bcp plus simple d'écrire ce processus en fonction de son passé
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#9 02-01-2015 23:09:14
- Claire45
- membre extérieur
- Date d'inscription: 02-01-2015
- Messages: 6
Re: Prévision ARIMA
merci beaucoup pour vos compléments, ça m'oriente!!!!
par contre j'ai trouvé des racines 3,59 et -0,93....
mais le but final était de calculer les prédictions à l'horizon h=1,2,3,4 de l'accroissement de Yt et puis de Wt
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#10 03-01-2015 12:45:28
- floriansolaz
- Member
- Date d'inscription: 02-09-2013
- Messages: 17
Re: Prévision ARIMA
Claire45 a écrit:
par contre j'ai trouvé des racines 3,59 et -0,93....
Bonjour 
, pour les racines de Yt Jeremy a raison (bravo jéjé!!) :
on a
Yt = 2 + 1.6Yt-1 - 0.6Yt-2 + epst <=> Yt -1.6Yt-1 + 0.6Yt-2 = 2 + epst
<=> (1 - 1.6L +0.6L²)Yt = 2 + epst
avec "L" l'opérateur de retard, c'est-à-dire : Yt * L = Yt-1 et Yt * L² = Yt-2 etc...
on a un polynôme du second degré qu'on peut résoudre pour trouver ses racines :
Delta = b² - 4ac = 1.6² - 4*0.6*1 = 2.56 - 2.4 = 0.16
(Delta >0 donc on a 2 solutions réelles)
w1 = (-b - racine(delta))/2a
= (1.6 - racine(0.16))/2*0.6
= 2 / 1.2 = 5/3
w2 = 1.2 / 1.2 = 1
Nos 2 racines sont 5/3 et 1
On peut donc écrire :
(1 - 1.6L +0.6L²) = 0.6(L - 1)(L - 5/3)
(on peut vérifier ce résultat en développant)
Et on trouve ici (sauf erreur de ma part) que le processus a une racine unitaire !
Je sais que ce n'est pas le but de votre exercice mais ça fait pas de mal 
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#11 05-01-2015 02:44:13
- Claire45
- membre extérieur
- Date d'inscription: 02-01-2015
- Messages: 6
Re: Prévision ARIMA
ah, oui, c'est vrai, j'ai oublié 2.......merci!!!
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